ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Точки А
и А' плоскости называются симметричными
относительно
точки O, если эта точка является серединой отрезка АА'. Точка O считается
симметричной сама себе.
Соответствие, при котором каждой точке А сопоставляется симметричная ей относительно
точки O точка А',
называется центральной симметрией. Точка O называется центром симметрии.
Две фигуры F и F' называются симметричными
относительно
центра O, если
каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.
Фигура F называется симметричной
относительно
центра O, если она симметрична сама себе.
Установим связь между осевой и центральной
симметриями.
Пусть c1, c2 – перпендикулярные прямые,
пересекающиеся в точке O.
Для произвольной точки A рассмотрим точки A1 и A2, симметричные точке A
относительно прямых c1 и c2, соответственно. Тогда OA1 = OA =
OA2 и угол A1OA2 равен 180 градусов. Значит
точки A1 и A2 симметричны относительно
точки O. Таким образом, центральную симметрию относительно
точки O, при которой точке A1 сопоставляется точка A2, можно получить с помощью
двух осевых симметрий – сначала
относительно прямой c1 (точка A
перейдет в точку A1), а затем относительно прямой c2 (точка A1 перейдет в точку A2). Поскольку осевые
симметрии переводят прямые в прямые и сохраняют расстояния и углы, то из этого
следует, что и центральная симметрия переводит прямые в прямые и сохраняет
расстояния и углы.
Задачи
1. Даны точка A и симметричная ей точка A’.
Нарисуйте центр симметрии.
2. Нарисуйте: а) точку; б) отрезок; в) прямую,
симметричные данным относительно данной точки C.
3. Какие прямые при
центральной симметрии переходят сами в себя?
4. Какая фигура симметрична
окружности? Почему?
5. Нарисуйте фигуры
симметричные фигурам, изображенным на рисунке 1.
7. Имеет ли центр симметрии:
а) правильный треугольник; б) квадрат; в) правильный пятиугольник; г)
правильный шестиугольник; д) правильный n-угольник (рис. 2)?
8. Какие буквы русского
алфавита имеют центр симметрии?
А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т,
У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Ю, Я.
9.
Какие буквы латинского алфавита имеют центр симметрии?
A, B, C,
D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.
10. Докажите, что центральная симметрия переводит прямую в параллельную ей прямую или в нее саму.
11. Может ли фигура иметь: а) бесконечно много центров симметрии; б) ровно два центра симметрии?
12. Докажите, что если O1, O2 – два центра симметрии фигуры, то точка O3, симметричная O1 относительно O2 также является центром симметрии этой фигуры.
